极点和配极

castelu

定义　若直线$l$与二次曲线$\overline {\Gamma}$有重合的两个交点，或$l$整个在$\overline {\Gamma}$上，则称$l$是$\overline {\Gamma}$的切线，他们的交点称为切点。

　　设直线$l$为$\overline {\Gamma}$的切线，切点为$P$，在$l$上任取一点$Q \ne P$，它们的齐次坐标是$P[p_1,p_2,p_3]$，$Q[q_1,q_2,q_3]$，则$l$的参数方程为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}} \right)=\lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
p_1\\
p_2\\
p_3
\end{array}} \right)+\mu \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
q_1\\
q_2\\
q_3
\end{array}} \right)。$$
　　设二次曲线$\overline {\Gamma}$在齐次坐标下的方程为
$$\sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}x_ix_j=0，$$
　　其中，$a_{ij}=a_{ji}$。上式也可写成矩阵形式
$$(x_1,x_2,x_3)A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}} \right)=0，$$
　　其中，$A=(a_{ij})$是实对称矩阵。
　　将直线$l$的方程
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}} \right)=\lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
p_1\\
p_2\\
p_3
\end{array}} \right)+\mu \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
q_1\\
q_2\\
q_3
\end{array}} \right)$$
　　代入$\overline {\Gamma}$的方程中得
$$\lambda^2 \sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_ip_j+\mu^2 \sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}q_iq_j+2\lambda \mu \sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_iq_j=0。$$
　　现在$l$与$\overline {\Gamma}$有两个重合的交点$P$，则由上式得
$$\sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_iq_j=0，$$
　　或矩阵形式
$$(p_1,p_2,p_3)A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
q_1\\
q_2\\
q_3
\end{array}} \right)=0。$$
　　因而切线上任意点$Q$均适合方程
$$\sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_ix_j=0，$$
　　或
$$(p_1,p_2,p_3)A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}} \right)=0。$$
　　若$(p_1,p_2,p_3)A \ne 0$，则
$$\sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_ix_j=0$$
　　就是切线$l$的方程。若$(p_1,p_2,p_3)A=0$，则$x_1$，$x_2$，$x_3$可取任意不全为零的实数，这意味着扩大欧式平面上任一点与点$P$的连线都是$\overline {\Gamma}$的切线。
　　使$(p_1,p_2,p_3)A=0$的二次曲线$\overline {\Gamma}$上的点$P[p_1,p_2,p_3]$称为$\overline {\Gamma}$的奇点。
　　若直线$l$整个在$\overline {\Gamma}$上，由于$\lambda$，$\mu$可取任何值，则由
$$\lambda^2 \sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_ip_j+\mu^2 \sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}q_iq_j+2\lambda \mu \sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_iq_j=0$$
　　仍可得到
$$\sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_ix_j=0$$
　　或
$$(p_1,p_2,p_3)A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}} \right)=0。$$
　　假定二次曲线$\overline {\Gamma}$在齐次坐标中的方程为
$\sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}x_ix_j=0$，取不在$\overline {\Gamma}$上的点$P$，过点$P$引任意直线$l$，使得$l$与$\overline {\Gamma}$有两个不同的交点$A$，$B$，作点$P$关于$A$，$B$的调和共轭点$Q$，即使$(A,B; P,Q)=-1$。用这样的方法作出的点$Q$的几何轨迹称为点$P$关于二次曲线$\overline {\Gamma}$的配极，而点$P$对于配极而言称为极点。
　　我们来建立配极的方程。设$Q[q_1,q_2,q_3]$是点$P[p_1,p_2,p_3]$关于$\overline {\Gamma}$的配极上的任一点，则直线$PQ$的参数方程为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}} \right)=\lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
p_1\\
p_2\\
p_3
\end{array}} \right)+\mu \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
q_1\\
q_2\\
q_3
\end{array}} \right)。$$
　　设$A$，$B$对应的参数值分别为$\lambda_1$，$\mu_1$和$\lambda_2$，$\mu_2$，因此
$$(P,Q;A,B)=\frac{\mu_1}{\lambda_1}:\frac{\mu_2}{\lambda_2}。$$
　　因为$(A,B; P,Q)=(P,Q;A,B)$，所以
$$\frac{\lambda_1}{\mu_1}+\frac{\lambda_2}{\mu_2}=0。$$
　　将直线$PQ$的参数方程
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}} \right)=\lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
p_1\\
p_2\\
p_3
\end{array}} \right)+\mu \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
q_1\\
q_2\\
q_3
\end{array}} \right)$$
　　代入二次曲线$\overline {\Gamma}$的方程中，得
$$\lambda^2 \sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_ip_j+\mu^2 \sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}q_iq_j+2\lambda \mu \sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_iq_j=0。$$
　　由韦达定理和
$$\frac{\lambda_1}{\mu_1}+\frac{\lambda_2}{\mu_2}=0$$
　　同样得到
$$\sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_iq_j=0。$$
　　这说明点$P$关于$\overline {\Gamma}$的配极上的任一点$Q[q_1,q_2,q_3]$满足方程
$$\sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_ix_j=0$$
　　或
$$(p_1,p_2,p_3)A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}} \right)=0。$$
　　由于点$P \notin \overline {\Gamma}$，所以$(p_1,p_2,p_3)A \ne 0$，从而
$$\sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_ix_j=0$$
　　表示一直线。于是点$P \notin \overline {\Gamma}$关于$\overline {\Gamma}$的配极上的任一点$Q$都在直线
$$\sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_ix_j=0$$
　　上，为简便起见，把直线
$$\sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_ix_j=0$$
　　称为点$P \notin \overline {\Gamma}$关于二次曲线$\overline {\Gamma}$的配极，因此配极也称为极线，它的方程是
$$\sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_ix_j=0$$
　　或
$$(p_1,p_2,p_3)A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}} \right)=0。$$
　　若点$P \in \overline {\Gamma}$，且$P$不是$\overline {\Gamma}$的奇点，则以$P$为切点的切线方程也是
$$\sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_ix_j=0。$$
　　因此，我们把以$P$为切点的切线就称为点$P \in \overline {\Gamma}$关于$\overline {\Gamma}$的配极。
　　若点$P \in \overline {\Gamma}$是$\overline {\Gamma}$的奇点，则$\overline {\Pi}$上任一点都满足
$$\sum\limits_{i,j=1}^3 a_{ij}p_ix_j=0。$$
　　这时，我们把任一条直线都看作是奇点$P$的配极。

　　我们指出配极的两个重要性质。
（1）点$P$的配极上的任何一点$Q$的配极通过点$P$。
（2）点$P$的配极通过点$P$当且仅当$P$在二次曲线$\overline {\Gamma}$上。

　　下面讨论非退化二次曲线的三个定理，这里的非退化曲线不包括无轨迹。

Steiner定理　如果一条非退化二次曲线$\overline {\Gamma}$上给定四个不同的点$A_1$，$A_2$，$A_3$，$A_4$，则$\overline {\Gamma}$上任意一点$P$与它们的连线的交比$(PA_1,PA_2; PA_3,PA_4)$是一个常数，而与点$P$在$\overline {\Gamma}$上的位置无关。当$P$点与$A_1$，$A_2$，$A_3$，$A_4$中的某一点重合，比如$A_4$，则$PA_1$，$PA_2$，$PA_3$与$A_4$处的切线$PT$的交比$(PA_1,PA_2; PA_3,PT)$仍等于上述常数。

　　利用Steiner定理可以证明Pascal定理。

Pascal定理　一条非退化二次曲线的内接六角形的三对对边的交点一定共线。

　　Pascal定理的对偶命题是Brianchon定理。

Brianchon定理　连接非退化二次曲线的外切六边形的对顶点所成的三条直线相交于一点。