射影变换与二次曲线的射影分类

castelu

　　首先，我们给出欧式平面上的射影变换的定义，然后把它延续到扩大的欧式平面上。

定义　在欧式平面$\Pi$上由公式
$$\left\{ \begin{array}{l}
x'=\frac{a_{11}x+a_{12}y+a_{13}}{a_{31}x+a_{32}y+a_{33}},\\
y'=\frac{a_{21}x+a_{22}y+a_{23}}{a_{31}x+a_{32}y+a_{33}}
\end{array} \right.$$
给出的点变换成为欧式平面$\Pi$上的射影变换，其中，$A=(a_{ij})$是可逆的。

　　直接验证可得到，先后完成两个射影变换的结果仍是一射影变换；射影变换是可逆的，且逆变换是射影变换；恒等变换是射影变换。因而射影变换的全体组成一个变换群，称为射影变换群，简称射影群。
　　射影变换
$$\left\{ \begin{array}{l}
x'=\frac{a_{11}x+a_{12}y+a_{13}}{a_{31}x+a_{32}y+a_{33}},\\
y'=\frac{a_{21}x+a_{22}y+a_{23}}{a_{31}x+a_{32}y+a_{33}}
\end{array} \right.$$
　　在不与直线$a_{31}x+a_{32}y+a_{33}=0$相交的图形上均可施行。
　　射影变换有仿射变换的许多性质，特别是在射影变换下，同一直线上的点仍变为同一直线上的点。
　　欧式平面$\Pi$上的射影变换
$$\left\{ \begin{array}{l}
x'=\frac{a_{11}x+a_{12}y+a_{13}}{a_{31}x+a_{32}y+a_{33}},\\
y'=\frac{a_{21}x+a_{22}y+a_{23}}{a_{31}x+a_{32}y+a_{33}}
\end{array} \right.$$
　　可以延续到扩大的欧式平面$\overline {\Pi}$上，即在齐次坐标下由公式
$$\left\{ \begin{array}{l}
\rho x'_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3,\\
\rho x'_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3,\\
\rho x'_3=a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3
\end{array} \right.$$
　　给出的点变换，称为射影平面上的射影变换，其中，$A=(a_{ij})$是可逆的，$\rho \ne 0$对于不同的点有不同的值。
　　很明显，射影平面上的射影变换的全体组成一个变换群，称为射影平面上的射影变换群。
　　变换
$$\left\{ \begin{array}{l}
\rho x'_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3,\\
\rho x'_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3,\\
\rho x'_3=a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3
\end{array} \right.$$
　　在$\Pi$上与
$$\left\{ \begin{array}{l}
x'=\frac{a_{11}x+a_{12}y+a_{13}}{a_{31}x+a_{32}y+a_{33}},\\
y'=\frac{a_{21}x+a_{22}y+a_{23}}{a_{31}x+a_{32}y+a_{33}}
\end{array} \right.$$
　　是一致的，实际上，在$\Pi$上，$x_3 \ne 0$，$x'_3 \ne 0$，因此用第三个公式逐个去除前两个就得到
$$\left\{ \begin{array}{l}
x'=\frac{a_{11}x+a_{12}y+a_{13}}{a_{31}x+a_{32}y+a_{33}},\\
y'=\frac{a_{21}x+a_{22}y+a_{23}}{a_{31}x+a_{32}y+a_{33}}
\end{array} \right.。$$
　　在射影变换下，共线四点的交比是保持不变的，即交比是射影不变量。
　　我们知道，在直角坐标系中，平面上的二次曲线由方程
$$a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$$
　　给出，用$\frac{x_1}{x_3}=x$，$\frac{x_2}{x_3}=y$代入上式，就得到齐次坐标下的二次曲线的方程。
$$a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3=0。$$
　　在射影平面上，满足上式的无穷远点$[x_1,x_2,0]$应适合
$$a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+2a_{12}x_1x_2=0。$$
　　由此可见，满足
$$a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3=0$$
　　的无穷远点实际上是平面上的二次曲线
$$a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$$
　　的渐近方向。因而，射影平面上的二次曲线为平面上的二次曲线补上此曲线的所有渐近方向。

定理　射影平面上的二次曲线与下列的五种曲线之一射影等价
$$\left\{ \begin{array}{l}
x_1^2+x_2^2+x_3^2=0,\\
x_1^2+x_2^2-x_3^2=0,\\
x_1^2+x_2^2=0,\\
x_1^2-x_2^2=0,\\
x_1^2=0,\end{array} \right.$$

　　由此定理知道，射影平面上的二次曲线有五个射影类，前两类是非退化的曲线，后三类是退化的曲线。第一类无图形，第二类是欧式平面上的椭圆、双曲线和抛物线并且补充了它们的渐近方向，第三类是一点，第四类是一对相交直线，第五类是一对重合直线。