第一型曲面积分

castelu

定义　设$S$是空间中可求面积的曲面，$f(x,y,z)$为定义在$S$上的函数。对曲面$S$作分割$T$，它把$S$分成$n$个小曲面块$S_i$（$i=1,2,\cdots,n$），以$\Delta S_i$记小曲面块$S_i$的面积，分割$T$的细度$||T||=\max\limits_{1 \le i \le n}{S_i的直径}$，在$S_i$上任取一点$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$（$i=1,2,\cdots,n$），若极限
$$\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta S_i$$
　　存在，且与分割$T$与$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$（$i=1,2,\cdots,n$）的取法无关，则称此极限为$f(x,y,z)$在$S$上的第一型曲面积分，记作
$$\iint\limits_S f(x,y,z)dS。$$

　　特别地，当$f(x,y,z) \equiv 1$时，曲面积分$\iint\limits_S dS$就是曲面块$S$的面积。
　　第一型曲面积分的性质完全类似于第一型曲线积分。
　　第一型曲面积分可化为二重积分来计算。

定理　设有光滑曲面
$$S：z=z(x,y)，(x,y) \in D，$$
$f(x,y,z)$为$S$上的连续函数，则
$$\iint\limits_S f(x,y,z)dS=\iint\limits_D f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy。$$

　　对于由参量形式表示的光滑曲面
$$S:\left\{ \begin{array}{l} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{array} \right.(u,v) \in D，$$
　　则在$S$上第一型曲面积分的计算公式为
$$\iint\limits_S f(x,y,z)dS=\iint\limits_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \sqrt{EG-F^2}dudv，$$
　　其中
$$E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，$$
$$F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，$$
$$G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。$$
　　这里还要求Jacobi行列式$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$，$\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}$，$\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}$中至少有一个不等于零。