参变量函数的导数

castelu

        平面曲线$C$一般的表达形式是参变量方程
$$\left\{ \begin{array}{l} x = \phi(t)\\y = \psi(t)\end{array} \right.(\alpha \le t \le \beta)$$
        表示。设$t=t_0$对应曲线$C$上的点$P$。如果在点$P$有切线，那么切线的斜率可由割线的斜率取极限而得，为此设$\phi$，$\psi$在点$t_0$可导，且$x'(t_0) \ne 0$。若$t_0 + \Delta t$对应$C$上的点$Q$，割线$PQ$的斜率
$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\psi(t_0 + \Delta t) - \psi(t_0)}{\phi(t_0 + \Delta t) - \phi(t_0)}，$$
        于是曲线$C$在点$P$的切线斜率是
$$\tan \alpha = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\psi(t_0 + \Delta t) - \psi(t_0)}{\Delta t}}{\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\phi(t_0 + \Delta t) - \phi(t_0)}{\Delta t}} = \frac{\psi'(t_0)}{\phi'(t_0)}。$$
        其中$\alpha$为切线与$x$轴正向的夹角。若$\phi'(t_0)=0$，但$\psi'(t_0) \ne 0$，同样可得
$$\cot \alpha = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{\phi'(t_0)}{\psi'(t_0)}。$$
　　若$\phi$，$\psi$在$[\alpha , \beta]$上都存在连续的导函数，且$\phi'^2 + \psi'^2 \ne 0$，这时称$C$为光滑曲线。其特点是在曲线$C$上不仅每一点都有切线，且切线与$x$轴正向的夹角$\alpha(t)$是$t$的连续函数。
　　若$x = \phi(t)$具有反函数$t = \phi^{-1}(x)$，那么它与$y = \psi(t)$构成一个复合函数
$$y = \psi \circ \phi^{-1}(x)。$$
　　这时只要函数$\phi$，$\psi$可导，$\phi'(t) \ne 0$（因而当$\Delta x \to 0$时，也有$\Delta t \to 0$和$\Delta y \to 0$），就可由复合函数和反函数的求导法则得到
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}。$$