导函数

castelu

　　若函数在区间$I$上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称$f$为$I$上的可导函数。此时对每一个$x \in I$，都有$f$的一个导数$f'(x)$（或单侧导数）与之对应。这样就定义了一个在$I$上的函数，称为$f$在$I$上的导函数，也简称为导数。记作$f'$，$y'$或$\frac{dy}{dx}$，即
$$f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}，x \in I。$$
　　在物理学中导数$y'$也常用牛顿记号$\dot y$表示，而记号$\frac{dy}{dx}$是莱布尼茨首先引用的。目前我们把$\frac{dy}{dx}$看作为一个整体，也可把它理解为$\frac{d}{dx}$施加于$y$的求导运算，待到学过“微分”之后，我们将说明这个记号实际上是一个“商”。相应于上述各种表示导数的形式，$f'(x_0)$有时也写作
$$y'|_{x=x_0}或\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}。$$