数学之家

标题: Jordan标准形 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-9 19:52
标题: Jordan标准形
  并不是对于每一个线性变换都有一组基,使它在这组基下的矩阵成为对角形。下面先介绍一下,在适当选择的基下,一般的一个线性变换能化简成什么形状。
  我们的讨论限制在复数域中。

定义 形式为
$$J(\lambda,t)= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda&0&\cdots&0&0&0\\ 1&\lambda&\cdots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&\lambda&0\\ 0&0&\cdots&0&1&\lambda \end{array}} \right)_{t \times t}$$
  的矩阵称为若尔当(Jordan)块,其中$\lambda$是复数。由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵,其一般形状如
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_1&&&\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&A_s \end{array}} \right) $$
  其中
$$A_i= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda_i&&&&\\ 1&\lambda_i&&&\\ &\ddots&\ddots&&\\ &&1&\lambda_i&\\ &&&1&\lambda_i \end{array}} \right) _{k_i \times k_i},$$
  并且$\lambda_1$,$\lambda_2$,$\cdots$,$\lambda_s$中有一些可以相等。

  一级若尔当块就是一级矩阵,因此若尔当形矩阵中包括对角矩阵。
  因为若尔当形矩阵是下三角形矩阵,所以不难算出,在一个若尔当形矩阵中,主对角线上的元素正是特征多项式的全部的根(重根按重数计算)。

定理1 设$\mathcal A$是复数域上线性空间$V$的一个线性变换,则在$V$中必定存在一组基,使$\mathcal A$在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵。称为$\mathcal A$的若尔当标准形。

  上述结果用矩阵表示就是:

定理2 每个$n$级复矩阵$A$都与一个若尔当形矩阵相似。

定理3 每个$n$级复矩阵$A$都与一个若尔当形矩阵相似,这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵$A$唯一决定的,它称为$A$的若尔当标准形。

  定理3换成线性变换的语言来说就是:

定理4 设$\mathcal A$是复数域上$n$维线性空间$V$的线性变换,在$V$中必定存在一组基,使$\mathcal A$在这组基下的矩阵是若尔当形,并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被$\mathcal A$唯一决定的。

  应该指出,若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形,那就是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵,由此即得

定理5 复数矩阵$A$与对角矩阵相似的充分必要条件是,$A$的初等因子全为一次的。

  根据若尔当形的作法,可以看出矩阵$A$的最小多项式就是$A$的最后一个不变因子$d_n(x)$。因此有:

定理6 复数矩阵$A$与对角矩阵相似的充分必要条件是,$A$的不变因子都没有重根。




欢迎光临 数学之家 (http://www.2math.cn/) Powered by Discuz! X3.1