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标题: 一元多项式 [打印本页]

作者: castelu    时间: 2017-11-9 18:09
标题: 一元多项式
  在对多项式的讨论中,我们总是以一个预先给定的数域$P$作为基础。设$x$是一个符号(或称文字),我们有

定义1 设$n$是一个非负整数。形式表达式
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0,$$
  其中$a_0$,$a_1$,$\cdots$,$a_n$全属于数域$P$,称为系数在数域$P$中的一元多项式,或者简称为数域$P$上的一元多项式。

  在多项式中,$a_ix^i$称为$i$次项,$a_i$称为$i$次项的系数。以后我们用$f(x)$,$g(x)$,$\cdots$或$f$,$g$,$\cdots$等来代表多项式。
  注意,我们这儿定义的多项式是符号或文字的形式表达式。当这符号是未知数时,它是代数中的多项式。看应用需要,这个符号还可代表其他待定事物。为了能统一研究未知数和其他待定事物的多项式,我们才抽象地定义上述形式表达式。并且还要对它们引入运算来反映各个待定事物所满足的运算规律,统一研究以得到它们普遍的公共的性质。

定义2 如果在多项式$f(x)$与$g(x)$中,除去系数为零的项外,同次项的系数全相等,那么$f(x)$与$g(x)$就称为相等,记为
$$f(x)=g(x)。$$
  系数全为零的多项式称为零多项式,记为$0$。

  在
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$
  中,如果$a_n \ne 0$,那么$a_nx^n$称为多项式的首项,$a_n$称为首项系数,$n$称为多项式的次数。零多项式是唯一不定义次数的多项式。多项式$f(x)$的次数记为
$$\partial (f(x))。$$
  我们对形式表达式
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$
  可引入相加、相减、相乘这些运算,为便于计算和讨论,我们常常用和号来表达多项式。
  设
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0,$$
$$g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0$$
  是数域$P$上两个多项式。那么可以写成
$$f(x)=\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i,$$
$$g(x)=\sum\limits_{i=0}^n b_ix^i$$
  在表示多项式$f(x)$与$g(x)$的和时,如$n \ge m$,为了方便起见,在$g(x)$中令$b_n=b_{n-1}=\cdots=b_{m+1}=0$。那么$f(x)$与$g(x)$的和为
$$f(x)+g(x)=(a_n+b_n)x^n+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\cdots+(a_1+b_1)x+a_0+b_0$$
$$=\sum\limits_{i=0}^n (a_i+b_i)x^i。$$
  而$f(x)$与$g(x)$的乘积为
$$f(x) \cdot g(x)=a_nb_mx^{n+m}+(a_nb_{m-1}+a_{n-1}b_m)x^{n+m-1}+\cdots+(a_1b_0+a_0b_1)x+a_0b_0,$$
  其中$s$次项的系数是
$$a_sb_0+a_{s-1}b_1+\cdots+a_1b_{s-1}+a_0b_s=\sum\limits_{i+j=s} a_ib_j。$$
  所以$f(x)g(x)$可表成
$$f(x)g(x)=\sum\limits_{s=0}^{m+n} (\sum\limits_{i+j=s} a_ib_j)x^s。$$
  显然,数域$P$上的两个多项式经过加、减、乘等运算后,所得结果仍然是数域$P$上的多项式。
  对于多项式的加减法,不难看出
$$\partial (f(x) \pm g(x)) \le \max\limits (\partial (f(x)),\partial (g(x)))。$$
  对于多项式的乘法,可以证明,如果$f(x) \ne 0$,$g(x) \ne 0$,那么$f(x)g(x) \ne 0$,并且
$$\partial (f(x)g(x))=\partial (f(x))+\partial (g(x))。$$
  事实上,设
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0,$$
$$g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0,$$
其中$a_n \ne 0$,$b_m \ne 0$,于是$f(x)g(x)$的首项是
$$a_nb_mx^{n+m}。$$
显然$a_nb_m \ne 0$,因之,$f(x)g(x) \ne 0$而且它的次数就是$n+m$。
  由以上证明还看出,多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积。
  显然,上面得出的结论都可以推广到多个多项式的情形。

  和数的运算一样,多项式的运算也满足下面的一些规律。
1、加法交换律:
$$f(x)+g(x)=g(x)+f(x)。$$
2、加法结合律:
$$(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))。$$
3、乘法交换律:
$$f(x)g(x)=g(x)f(x)。$$
4、乘法结合律:
$$(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))。$$
5、乘法对加法的分配律:
$$f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)。$$
6、乘法消去律:
  如果$f(x)g(x)=f(x)h(x)$且$f(x) \ne 0$,那么
$$g(x)=h(x)。$$

  最后我们引入

定义3 所有系数在数域$P$中的一元多项式的全体,称为数域$P$上的一元多项式环,记为$P[x]$,$P$称为$P[x]$的系数域。




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