数学之家
标题:
Fourier级数
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作者:
castelu
时间:
2017-11-8 22:43
标题:
Fourier级数
一、以$2\pi$为周期的函数的Fourier级数
定理1
若在整个数轴上
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$
且等式右边级数一致收敛,则有如下关系式:
$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nxdx,n=0,1,2,\cdots,$$
$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nxdx,n=1,2,\cdots。$$
一般地说,若$f$是以$2\pi$为周期且在$[-\pi,\pi]$上可积的函数,则可按公式计算出$a_n$和$b_n$,它们称为函数$f$(关于三角函数系)的Fourier系数,以$f$的Fourier系数为系数的三角级数称为$f$(关于三角函数系)的Fourier级数,记作
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx+b_n\sin nx)。$$
这里记号“$\sim$”表示上式右边是左边函数的Fourier级数。由定理1知道:若右边的三角级数在整个数轴上一致收敛于其和函数$f$,则此三角函数就是$f$的Fourier级数,即此时上式中的记号“$\sim$”可换为等号。然而,若从以$2\pi$为周期且在$[-\pi,\pi]$上可积的函数$f$出发,按公式求出其Fourier系数并得到Fourier级数,这时还需讨论此级数是否收敛。如果收敛,是否收敛于$f$本身。
定理2
若以$2\pi$为周期的函数$f$在$[-\pi,\pi]$上按段光滑,则在每一点$x \in [-\pi,\pi]$,$f$的Fourier级数收敛于$f$在点$x$的左、右极限的算术平均值,即
$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx+b_n\sin nx),$$
其中$a_n$,$b_n$为$f$的Fourier系数。
我们知道,若$f$的导函数在$[a,b]$上连续,则称$f$在$[a,b]$上光滑。但若定义在$[a,b]$上除了至多有有限个第一类间断点的函数$f$的导函数在$[a,b]$上除了至多有限个点外都存在且连续,在这有限个点上导函数$f'$的左、右极限存在,则称$f$在$[a,b]$上按段光滑。
根据上述定义,若函数$f$在$[a,b]$上按段光滑,则有如下重要性质:
1、$f$在$[a,b]$上可积。
2、在$[a,b]$上每一点都存在$f(x \pm 0)$,且有:
$$\lim\limits_{t \rightarrow 0^+}=\frac{f(x+t)-f(x+0)}{t}=f'(x+0),$$
$$\lim\limits_{t \rightarrow 0^+}=\frac{f(x-t)-f(x-0)}{-t}=f'(x-0)。$$
3、在补充定义$f'$在$[a,b]$上那些至多有限个不存在点上的值后(仍记为$f'$),$f'$在$[a,b]$上可积。
从几何图形上讲,在区间$[a,b]$上按段光滑函数,是由有限个光滑弧段所组成,它至多有有限个第一类间断点与角点。
收敛定理指出,$f$的Fourier级数在点$x$处收敛于这一点上$f$的左、右极限的算术平均值$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$;而当$f$在点$x$连续时,则有$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=f(x)$,即此时$f$的Fourier级数收敛于$f(x)$。于是有如下推论。
推论
若$f$是以$2\pi$为周期的连续函数,且在$[-\pi,\pi]$上按段光滑,则$f$的Fourier级数在$(-\infty,+\infty)$上收敛于$f$。
根据收敛定理的假设,$f$是以$2\pi$为周期的函数,所以系数公式中的积分区间$[-\pi,\pi]$可以改为长度为$2\pi$的任何区间,而不影响$a_n$,$b_n$的值:
$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_c^{c+2\pi} f(x)\cos nxdx,n=0,1,2,\cdots,$$
$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_c^{c+2\pi} f(x)\sin nxdx,n=1,2,\cdots,$$
其中$c$为任何实数。
注意:在具体讨论函数的Fourier级数展开式时,常只给出函数$f$在$(-\pi,\pi]$(或$[-\pi,\pi)$)上的解析表达式,但读者应理解为它是定义在整个数轴上以$2\pi$为周期的函数。即在$(-\pi,\pi]$以外的部分按函数在$(-\pi,\pi]$上的对应关系作周期延拓。如$f$为$(-\pi,\pi]$上的解析表达式,那么周期延拓后的函数为
$$\hat f(x)=\left\{ \begin{array}{l} f(x),x \in (-\pi,\pi]\\ f(x-2k\pi),x \in ((2k-1)\pi,(2k+1)\pi]\end{array} \right.,k=\pm 1,\pm 2,\cdots,$$
因此我们说函数$f$的Fourier级数就是指函数$\hat f$的Fourier级数。
二、以$2l$为周期的函数的Fourier级数
设$f$是以$2l$为周期的函数,通过变量置换
$$\frac{\pi x}{l}=t或x=\frac{l t}{\pi}$$
可以把$f$变换成以$2\pi$为周期的$t$的函数$F(t)=f(\frac{l t}{\pi})$。若$f$在$[-l,l]$上可积,则$F$在$[-\pi,\pi]$上也可积,这时函数$F$的Fourier级数展开式是:
$$F(t) \sim \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nt+b_n\sin nt),$$
其中
$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F(t)\cos ntdt,n=0,1,2,\cdots,$$
$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F(t)\sin ntdt,n=1,2,\cdots。$$
因为$t=\frac{\pi x}{l}$,所以$F(t)=f(\frac{l t}{\pi})=f(x)$。于是由上两式分别得
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})$$
与
$$a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx,n=0,1,2,\cdots,$$
$$b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx,n=1,2,\cdots。$$
这里$a_n$、$b_n$是以$2l$为周期的函数$f$的Fourier系数,$f(x)$是$f$的Fourier级数。
若函数$f$在$[-l,l]$上按段光滑,则同样可由收敛定理知道
$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})。$$
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