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标题: 挺有趣的一道题 [打印本页]

作者: 龙的腾飞 时间: 2014-5-14 12:51
标题: 挺有趣的一道题
本帖最后由龙的腾飞于 2014-5-14 12:59 编辑

证明：同一平面内的不全在同一直线的n（n≥2）个点，必定存在一条直线只经过其中两个点.

作者: castelu 时间: 2014-5-14 13:56
从n个不共线的点中找到其中的任意2个点作直线L
L外必有其他的点，记L外某1点a到L的距离为p（a，L）
因为给的点只有有限个，所以过其他任意2点也只能作有限条直线
仅有有限个距离p（a，L）
从而有通过某2个点的直线L0以及L0外的某个定点a0
使得距离p（a0，L0）最小，这个L0就是所求直线
下面来证明

反证法：
假设L0不是要找的直线，那么至少有3个不同的定点a1、a2、a3在直线L0上
过a0作L0的垂线，垂足为h
此时，3个定点a1、a2、a3中至少有2个点在垂足h的同一侧（包含与h重合的情况）
不妨设a1和a2在h的同侧，且a0位于h和a1之间
过a0和a2作直线L1，显然点a1不在直线L1上
并且p（a1，L1）<=p（h，L1）<=p（a0，L0）
因为已知p（a0，L0）是最小的，所以矛盾
这就证明了直线L0恰好只通过2个给定的点

作者: Hsuan 时间: 2014-5-14 13:57
设平面上一点P和由平面上的点构成的任意一条直线L之间的距离为d(P,L)。则存在一个点A和直线L0，使得d取最小（直线的数目和点的数目是有限的）.
证明：假设L0上有两个以上的点，且B、C、D为L上的3个点，过A做AE⊥L0于E；B、C、D三点当中至少有两个在E点的同侧，不妨令B、C在E点的同侧，且B点更靠近E。
明显d(B,AC)<d(P,L0)；矛盾，因此直线L上的点数目只有2个。
得证.

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