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标题: 重合的重心 [打印本页]

作者: qtstc 时间: 2009-9-11 19:08
标题: 重合的重心
间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。怎么证?

作者: zhangyuong 时间: 2009-9-16 23:33
本帖最后由 zhangyuong 于 2009-9-17 12:59 编辑

不是很简单么，建系之后，设六边行ABCDEF坐标依次为(xi,yi),i=1,2...6
设AB中点A‘，CD中点B’，EF中点C‘
则A'B'C'重心G'(Σxi/6,Σyi/6)
同理BC中点A'',DE中点B'',FA中点C''三角形的重心
G''(Σxi/6,Σyi/6)
这样G’=G''

作者: qtstc 时间: 2009-9-17 23:08
谢谢LS,可惜我看不懂..要努力了..

等非解析几何的证法...

作者: appletree444 时间: 2009-10-28 15:01
这个问题可以利用版主在“压箱底的初中几何题”（已证）中的结论来证。如图（图中的点都是中点）：
其中O为三角形IGH的重心（三中线的公共点）。此时有OK=1/2*OI。
五边形BFEDC中，利用“压箱底的初中几何题”的结论有KQ//BF，且KQ=1/4*BF。
三角形ABF中，利用中位线，有IP//BF，且IP=1/2*BF。
故而KQ//IP，且KQ=1/2*IP。
故角FIO=角QKO，又OK=1/2*OI，KQ=1/2*IP。
故三角形OKQ与三角形OIP相似，以下就易证P、O、Q三点共线，且OQ=1/2*OP。
同理，可证M、O、S三点共线，且OS=1/2*OM，N、O、R三点共线，且OR=1/2*ON。
根据重心的性质，可判断O也为三角形PMN的重心。

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