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标题: 求函数方程问题。 [打印本页]

作者: 5601706 时间: 2009-9-5 12:23
标题: 求函数方程问题。
已知二次函数f(x)满足：
（1）f(-1)=0
（2）对一切x的值有x<=f(x)<=(1+x^2) /2恒成立
求f(x)的解析式

作者: 5601706 时间: 2009-9-5 12:23
哈哈。。。这是俺做的第一道竞赛题目。。。

作者: 战巡 时间: 2009-9-5 12:57
呵呵，吾有一计，可立破此题
首先，既然二次函数过(-1,0)，那么可设f(x)=ax^2+bx+b-a (a不为0)
然后观察g1(x)=x和g2(x)=(x^2+1)/2，可知它们相切于(1,1)
f(x)要夹在其中，必然也要和g1(x)=x相切于(1,1)
则有
f(1)=1——a+b+b-a=1
f'(1)=1——2a+b=1
解得a=1/4，b=1/2
f(x)=x^2/4+x/2+1/4=(x+1)^2/4

作者: 数学瓜 时间: 2009-9-5 13:03
这道题目啊，我做做看。

作者: 数学瓜 时间: 2009-9-5 13:09
设f(x)=ax^2+bx+c
因为f(-1)=0,所以a -b+c=0
又因为1<=f(1)<=1，所以a+b+c=1
由以上条件由：b=1/2
又因为f(x)=>x对一切x的取值均成立，所以由ax^2+(b-1)x+c=>0,容易看出a>0
即由(b-1)^2-4ac<=0.所以ac=>1/16
所以a=1/4 c=1/4
所以原函数表达式为f(x)=0.25x^2+0.5x+0.25

作者: 5601706 时间: 2009-9-5 13:33
哦，两种方法。。但战巡，哪个相切是怎么来的？

作者: 里亦维奇 时间: 2009-9-5 15:55

哦，两种方法。。但战巡，哪个相切是怎么来的？
5601706 发表于 2009-9-5 13:33

x≤f(x)≤(1+x[sup]2[/sup]) /2就是说令x=(1+x[sup]2[/sup])/2得出x=1

作者: 数学瓜 时间: 2009-9-5 16:48
5# 数学瓜
方法很好，谢谢。

作者: 里亦维奇 时间: 2009-9-5 16:56
ls在干嘛？怎么自己给自己的回帖评价？

作者: qtstc 时间: 2009-9-5 17:26
8# 数学瓜
健忘的终极体现

作者: 5601706 时间: 2009-9-5 22:50
哪家伙真是数学"瓜"啊。哈哈。笑。

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